Integral als Fläche
Klasse 12 · Mathematik · 2:10 Min.
Das Wichtigste
- Das Integral ist die Fläche zwischen Graph und x-Achse.
- Immer schmalere Rechtecke nähern die Fläche an.
- Eine Stammfunktion groß F hat die Ableitung f.
- Die Fläche von a bis b ist groß F von b minus groß F von a.
Alles zum Nachlesen
Wie groß ist die Fläche unter einer Kurve?
In diesem Video lernst du, wie du solche Flächen mit dem Integral berechnest.
Hier siehst du den Graphen der Funktion f von x gleich x Quadrat.
Gesucht ist die Fläche zwischen Graph und x-Achse, von null bis drei.
Der obere Rand ist gekrümmt.
Eine einfache Formel wie beim Rechteck hilft hier nicht.
Ein Trick: Wir füllen die Fläche mit schmalen Rechtecken auf.
Jedes Rechteck hat die Fläche Breite mal Höhe. Zusammen ergeben sie einen Näherungswert.
Mit sechs Rechtecken kommen wir auf etwa sechs Komma neun. Das ist zu wenig, denn oben bleiben Lücken.
Mit vierundzwanzig schmaleren Rechtecken sind es schon etwa acht Komma vier.
Werden die Rechtecke immer schmaler, nähert sich die Summe genau der Fläche. Diesen Grenzwert nennt man Integral.
Schneller geht es mit einer Stammfunktion.
Eine Stammfunktion groß F ist eine Funktion, deren Ableitung genau f ist.
Zu x Quadrat passt zum Beispiel x hoch drei geteilt durch drei. Leitest du das ab, erhältst du wieder x Quadrat.
Der Hauptsatz sagt: Das Integral von a bis b ist groß F von b minus groß F von a.
Er verbindet also das Ableiten mit dem Berechnen von Flächen.
Rechnen wir jetzt unsere Fläche von null bis drei aus.
Groß F von drei ist siebenundzwanzig geteilt durch drei, also neun.
Groß F von null ist null.
Die Fläche ist also genau neun Flächeneinheiten.
Fassen wir zusammen.
Das Integral ist die Fläche zwischen Graph und x-Achse.
Immer schmalere Rechtecke nähern die Fläche an.
Eine Stammfunktion groß F hat die Ableitung f.
Die Fläche von a bis b ist groß F von b minus groß F von a.
Super! Jetzt bist du dran.
