Binomialverteilung
Klasse 12 · Mathematik · 3:38 Min.
Das Wichtigste
- Eine Bernoulli-Kette besteht aus n gleichen, unabhängigen Versuchen mit Treffer oder Niete.
- Ein Treffer hat die Wahrscheinlichkeit p, eine Niete eins minus p.
- P von X gleich k ist n über k mal p hoch k mal eins minus p hoch n minus k.
- n über k zählt die Pfade mit genau k Treffern.
Alles zum Nachlesen
Wie wahrscheinlich ist es, bei fünf Würfen genau zweimal eine Sechs zu würfeln?
Das berechnest du mit der Binomialverteilung. Du lernst die Bernoulli-Kette, die Formel und ein Beispiel.
Ein Bernoulli-Experiment hat nur zwei Ausgänge: Treffer oder Niete. Beim Würfeln ist die Sechs unser Treffer.
Die Trefferwahrscheinlichkeit heißt p, hier ein Sechstel.
Eine Niete hat die Gegenwahrscheinlichkeit eins minus p, also fünf Sechstel.
Wiederholst du das Experiment n-mal unabhängig mit gleichem p, ist das eine Bernoulli-Kette. Hier ist n gleich fünf.
Die Zufallsgröße X zählt die Treffer. Sie kann null bis fünf sein.
Ein möglicher Ablauf mit genau zwei Sechsen: zwei Treffer, dann drei Nieten.
Nach der Pfadregel multiplizierst du: zweimal p und dreimal eins minus p.
Die zwei Treffer können aber auch an anderen Stellen liegen.
Wie viele solche Pfade gibt es? Das sagt der Binomialkoeffizient fünf über zwei. Er ist zehn.
Daraus folgt die Formel: P von X gleich k ist n über k, mal p hoch k, mal eins minus p hoch n minus k.
n über k zählt die Pfade mit genau k Treffern.
p hoch k steht für die k Treffer ...
... und eins minus p hoch n minus k für die Nieten.
Jetzt unser Beispiel: n ist fünf, p ein Sechstel und k gleich zwei.
Fünf über zwei ist zehn. Dazu ein Sechsunddreißigstel und hundertfünfundzwanzig Zweihundertsechzehntel.
Multipliziert ergibt das tausendzweihundertfünfzig durch siebentausendsiebenhundertsechsundsiebzig.
Das sind etwa null Komma eins sechs eins, also rund sechzehn Prozent. Im Histogramm ist es der Balken bei zwei.
Fassen wir zusammen.
Eine Bernoulli-Kette besteht aus n gleichen, unabhängigen Versuchen mit Treffer oder Niete.
Ein Treffer hat die Wahrscheinlichkeit p, eine Niete eins minus p.
P von X gleich k ist n über k mal p hoch k mal eins minus p hoch n minus k.
n über k zählt die Pfade mit genau k Treffern.
Super! Jetzt bist du dran.
