Sinussatz und Kosinussatz
Klasse 10 · Mathematik · 2:15 Min.
Das Wichtigste
- Jede Seite liegt ihrem gleichnamigen Winkel gegenüber.
- Im Sinussatz ergibt Seite durch Sinus des Gegenwinkels überall denselben Wert.
- Ihn nimmst du, wenn du eine Seite und ihren Gegenwinkel kennst.
- Der Kosinussatz lautet: a Quadrat gleich b Quadrat plus c Quadrat minus zwei b c mal Kosinus Alpha.
- Ihn nimmst du bei zwei Seiten mit Winkel dazwischen oder bei drei Seiten.
Alles zum Nachlesen
Wie berechnest du Seiten und Winkel in einem Dreieck, das keinen rechten Winkel hat?
In diesem Video lernst du den Sinussatz und den Kosinussatz, und wann du welchen nimmst.
Zuerst die Namen: Die Ecken heißen A, B und C.
Die Winkel dort heißen Alpha, Beta und Gamma.
Die Seite a liegt Alpha gegenüber, b liegt Beta gegenüber und c Gamma.
Der Sinussatz: a durch Sinus Alpha gleich b durch Sinus Beta gleich c durch Sinus Gamma.
Seite durch Sinus des Gegenwinkels ergibt also überall denselben Wert.
Du nimmst ihn, wenn du eine Seite und ihren Gegenwinkel kennst.
Beispiel: a ist fünf Zentimeter, Alpha vierzig Grad, Beta sechzig Grad. Gesucht ist b.
Wir setzen in den Sinussatz ein.
Dann mal Sinus sechzig Grad.
Also ist b ungefähr sechs Komma sieben vier Zentimeter.
Kennst du zwei Seiten und den Winkel dazwischen, hilft der Sinussatz nicht.
Dann gilt der Kosinussatz: a Quadrat ist b Quadrat plus c Quadrat minus zwei b c mal Kosinus Alpha.
Bei neunzig Grad ist der Kosinus null. Dann bleibt der Satz des Pythagoras.
Beispiel: b ist fünf, c sieben Zentimeter, Alpha sechzig Grad.
Zwei mal fünf mal sieben ist siebzig, und siebzig mal Kosinus sechzig Grad ergibt fünfunddreißig.
Also ist a Quadrat neununddreißig.
Die Wurzel: a ist ungefähr sechs Komma zwei vier Zentimeter.
Fassen wir zusammen.
Den Sinussatz nimmst du, wenn du eine Seite und ihren Gegenwinkel kennst.
Der Kosinussatz lautet: a Quadrat gleich b Quadrat plus c Quadrat minus zwei b c mal Kosinus Alpha.
Ihn nimmst du bei zwei Seiten mit Winkel dazwischen oder bei drei Seiten.
Super! Jetzt bist du dran.
