Quadratische Gleichungen mit der pq-Formel lösen

Ein Gartenbeet ist 3 Meter länger als breit und hat eine Fläche von 40 Quadratmetern. Wie breit ist es?

In diesem Video lernst du, solche quadratischen Gleichungen mit der pq-Formel zu lösen, und wie viele Lösungen es überhaupt gibt.

Eine quadratische Gleichung enthält x-Quadrat. Für die pq-Formel muss sie in der Normalform stehen.

Das heißt: Vor dem x-Quadrat steht eine Eins, und auf der rechten Seite steht null.

Steht vor x-Quadrat eine andere Zahl, teilst du die ganze Gleichung durch diese Zahl. Hier teilen wir durch zwei.

So erhältst du x-Quadrat minus zwei x minus acht gleich null.

Jetzt liest du p und q ab. Achte auf die Vorzeichen, sie gehören dazu: p ist minus zwei, q ist minus acht.

Die Lösungen bekommst du dann mit der pq-Formel: minus p halbe, plus oder minus die Wurzel aus p halbe zum Quadrat minus q.

Das Plus-Minus bedeutet: Du rechnest einmal mit plus und einmal mit minus. So erhältst du bis zu zwei Lösungen.

Der Term unter der Wurzel heißt Diskriminante, kurz D. Er entscheidet, wie viele Lösungen es gibt. Dazu gleich mehr.

Wir lösen x-Quadrat minus zwei x minus acht gleich null und setzen p gleich minus zwei und q gleich minus acht ein.

Minus zwei halbe ist minus eins. Das Minus davor macht daraus plus eins. Unter der Wurzel steht eins plus acht.

Die Wurzel aus neun ist drei.

Mit plus erhalten wir vier, mit minus erhalten wir minus zwei. Die Gleichung hat also zwei Lösungen.

Probe mit vier: Sechzehn minus acht minus acht ergibt null. Es stimmt.

Ob es zwei, eine oder keine Lösung gibt, verrät die Diskriminante D, also der Term unter der Wurzel.

Ist D größer als null, gibt es zwei Lösungen. Die Parabel zu unserem Beispiel schneidet die x-Achse zweimal, bei minus zwei und bei vier.

Ist D gleich null, gibt es genau eine Lösung. Die Parabel berührt die x-Achse dann nur in einem Punkt.

Ist D kleiner als null, gibt es keine Lösung, denn aus negativen Zahlen zieht man keine Wurzel. Die Parabel trifft die x-Achse nicht.

Die Lösungen der Gleichung sind also genau die Nullstellen der Parabel.

Zurück zum Beet. Die Breite nennen wir x, die Länge ist dann x plus drei. Breite mal Länge ergibt die Fläche.

Wir multiplizieren aus und bringen die 40 auf die linke Seite. Das ergibt die Normalform.

Mit p gleich drei und q gleich minus 40 steht unter der Wurzel 2,25 plus 40, also 42,25. Die Wurzel daraus ist 6,5.

Das ergibt minus 1,5 plus 6,5, also fünf, oder minus 1,5 minus 6,5, also minus acht. Eine negative Breite gibt es aber nicht.

Das Beet ist also 5 Meter breit und 8 Meter lang. Und tatsächlich: Fünf mal acht ist 40.

Fassen wir zusammen.

Bring die Gleichung zuerst in die Normalform: x-Quadrat plus p x plus q gleich null.

Dann setzt du p und q mit ihren Vorzeichen in die pq-Formel ein.

Der Term unter der Wurzel ist die Diskriminante.

Ist sie positiv, gibt es zwei Lösungen, bei null eine und wenn sie negativ ist, keine.

Im Bild sind die Lösungen die Nullstellen der zugehörigen Parabel.

Jetzt bist du dran!