Logarithmus

Wie oft musst du zwei mit sich selbst malnehmen, damit acht herauskommt?

In diesem Video lernst du den Logarithmus kennen und löst damit Exponentialgleichungen.

Bei zwei hoch x gleich acht ist der Exponent gesucht.

Am Graphen liest du rückwärts ab: Von acht auf der y-Achse gehst du zur Kurve und dann nach unten.

Du landest bei drei. Denn zwei hoch drei ist acht.

Diesen gesuchten Exponenten nennt man Logarithmus: Logarithmus von acht zur Basis zwei ist drei.

Allgemein: b hoch x gleich a. Dabei ist b die Basis und x der Exponent.

Dann ist der Logarithmus von a zur Basis b gleich x. Dabei sind a und b positiv, und b ist nicht eins.

Logarithmus von tausend zur Basis zehn ist drei, denn zehn hoch drei ist tausend.

Wichtig: Der Logarithmus von eins ist immer null, denn jede Zahl hoch null ist eins.

Und der Logarithmus der Basis selbst ist immer eins.

Der Logarithmus ist die Umkehrung der Potenz. Zwei hoch drei ist acht.

Der Logarithmus zur Basis zwei macht das rückgängig und liefert wieder drei.

Darum ist sein Graph das Spiegelbild der Potenzkurve an der Geraden y gleich x.

Er existiert nur für positive x, denn zwei hoch x ist immer positiv.

Beispiel: Ein Guthaben wächst jedes Jahr um fünf Prozent. Wann hat es sich verdoppelt?

Die Gleichung eins Komma null fünf hoch x gleich zwei löst du mit dem Logarithmus.

Mit dem Taschenrechner rechnest du log zwei geteilt durch log eins Komma null fünf.

Das ergibt etwa vierzehn Komma zwei. Nach gut vierzehn Jahren hat sich das Guthaben also verdoppelt.

Fassen wir zusammen.

Der Logarithmus von a zur Basis b ist der Exponent x mit b hoch x gleich a.

Er macht das Potenzieren rückgängig.

Der Logarithmus von eins ist null, der von der Basis ist eins.

Exponentialgleichungen löst du mit log a geteilt durch log b.

Sein Graph ist die Potenzkurve, gespiegelt an y gleich x.

Super! Jetzt bist du dran.